Pode-se mostrar os casos em que (a/b)(1/n) é irracional.
Já que (a/b)(1/n) = a(1/n) / b(1/n), podemos mostrar assim:
Seja n,A inteiros positivos com n > 1. Então A(1/n) é ou inteira ou irracional.
Prova
Suponha que A(1/n) = x/y seja racional.
Então xn = A yn.
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, dada a igualdade, ambos os lados da equação devem ter a mesma fatorização prima (em primos).
Na fatorização prima xn e yn, cada primo vai ocorrer n vezes. Daí que cada primo de A deve ocorrer n vezes.
(por exemplo, 9(1/2) = 3 que é inteiro, ou seja o número 9 é múltiplo de 3 duas vezes. )
Isto é, A é uma n-ésima potência e, portanto, A(1/n) é um inteiro.
(9 é 3² e a raiz quadrada de 3² é 3)
Nós concluímos que
A(1/n) é ou racional (no caso em que ela é um inteiro), ou é irracional.
Se a>0 e b>0 vimos então os casos em que , a(1/n)=J ou b(1/n)=K serão inteiros ou irracionais. Temos que analisar então combinações entre eles:
Caso 1) J inteiro e K inteiro,
J/K será inteiro ou racional.
Já que (a/b)(1/n) = a(1/n) / b(1/n), podemos mostrar assim:
Seja n,A inteiros positivos com n > 1. Então A(1/n) é ou inteira ou irracional.
Prova
Suponha que A(1/n) = x/y seja racional.
Então xn = A yn.
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, dada a igualdade, ambos os lados da equação devem ter a mesma fatorização prima (em primos).
Na fatorização prima xn e yn, cada primo vai ocorrer n vezes. Daí que cada primo de A deve ocorrer n vezes.
(por exemplo, 9(1/2) = 3 que é inteiro, ou seja o número 9 é múltiplo de 3 duas vezes. )
Isto é, A é uma n-ésima potência e, portanto, A(1/n) é um inteiro.
(9 é 3² e a raiz quadrada de 3² é 3)
Nós concluímos que
A(1/n) é ou racional (no caso em que ela é um inteiro), ou é irracional.
Se a>0 e b>0 vimos então os casos em que , a(1/n)=J ou b(1/n)=K serão inteiros ou irracionais. Temos que analisar então combinações entre eles:
Caso 1) J inteiro e K inteiro,
J/K será inteiro ou racional.
Caso 2) J inteiro e K irracional,
J/K será irracional.
Prova (por redução ao absurdo):
J/K = p/q
aonde p e q são inteiros. Temos então:
K = Jq/p, sendo J inteiro (suposto por hipótese), p e q inteiros, K é inteiro ou racional o que é absurdo pois K foi suposto ser irracional.
Caso 3) J irracional e K inteiro,
J/K será irracional.
Prova (por redução ao absurdo):
J/K = p/q
aonde p e q são inteiros. Temos então:
J = Kp/q
Sendo K inteiro (suposto por hipótese), p e q inteiros, J então será inteiro ou racional o que é absurdo pois J foi suposto ser irracional.
Caso 4) J irracional e K irracional,
J/K será irracional exceto quando K ou J forem múltiplos um do outro. Exemplo:
Se K = xJ , aonde x é inteiro, temos
J/K = 1/ x que é racional.
Do contrário,
J/K será irracional.
Clique aqui se não encontrou o seu problema resolvido ou um assunto que queira ver.
Pesquisar no blog: exercícios resolvidos de matemática
J/K será irracional.
Prova (por redução ao absurdo):
J/K = p/q
aonde p e q são inteiros. Temos então:
K = Jq/p, sendo J inteiro (suposto por hipótese), p e q inteiros, K é inteiro ou racional o que é absurdo pois K foi suposto ser irracional.
Caso 3) J irracional e K inteiro,
J/K será irracional.
Prova (por redução ao absurdo):
J/K = p/q
aonde p e q são inteiros. Temos então:
J = Kp/q
Sendo K inteiro (suposto por hipótese), p e q inteiros, J então será inteiro ou racional o que é absurdo pois J foi suposto ser irracional.
Caso 4) J irracional e K irracional,
J/K será irracional exceto quando K ou J forem múltiplos um do outro. Exemplo:
Se K = xJ , aonde x é inteiro, temos
J/K = 1/ x que é racional.
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