se a, b e c complexos, então podem ser escritos na representação polar como
a = r1 (cos + i senÂ)
b = r2 (cosÊ + i senÊ)
c = r3 (cosÎ + i senÎ)
aonde r1, r2 e r3 são números reais, Â , Ê e Î são os ângulos (e reais).
(como referência, vide por exemplo a equação 23 deste site da USP http://fma.if.usp.br/~fleming/vfield/node5.html )
Assim, vamos calcular o produto abc começando por ab:
ab = r1 (cos + i senÂ) r2 (cosÊ + i senÊ)
ab = r1r2 [cos cosÊ - sen senÊ + i (cos senÊ + sen cosÊ)]
usando a relação de adição de ângulos
sen(x+y) = sen(x)cos(y) + sen(y) cos(x) e ainda
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)
ab = r1 r2 [cos(Â+Ê) + i sen(Â+Ê)]
Chamemos agora de Â+Ê = Ô. Assim,
ab = r1 r2 [cos(Ô) + i sen(Ô)].
(Obs.: Este resultado era esperado já que o produto de 2 números complexos dá um número complexo que pode ser escrito na forma polar).
Vamos calcular agora o produto abc
abc = r1 r2 [cos(Ô) + i sen(Ô)] r3 (cosÎ + i senÎ)
e fazendo as contas como antes:
abc = r1 r2 r3 [cos(Û) + i sen(Û)]
(Aonde Û = Ô+ Î = Â+Ê + Î).
Do enunciado do problema: abc = 0. Assim
r1 r2 r3 [cos(Û) + i sen(Û)] = 0
Mas sabemos que cos(Û) + i sen(Û) nunca será zero. Pois se sen(x)=0 cos(x) será +1 ou -1 ou
se cos(x)=0, sen(x) será +1 ou -1, para todo x. Então, se cos(Û) + i sen(Û) nunca será zero, a única maneira de
r1 r2 r3 [cos(Û) + i sen(Û)]
ser zero é se
r1 r2 r3 = 0.
Como já vimos, r1, r2 e r3 são reais. Para o produto dos três ser nulo, pelo menos um deles é nulo. E se um deles for nulo, o número complexo será nulo. Por exemplo, se r1=0
a = r1 (cos + i senÂ)
a = 0 (cos + i senÂ)
a = 0.
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