um polinômio de coeficientes inteiros não possui raízes inteiras se P(0) e P(1) forem ímpares?

Resposta

Dado o polinômio P(x), sabemos que se r é raiz, P(r) = 0.

Para mostrarmos o que o problema em questão pede, tudo que temos que mostrar é que se r é inteiro, P(r) é diferente de 0.

Se pudemos provar que P(r) é ímpar, P(r) então seria diferente de 0. Assim, provando que para r inteiro P(r) é ímpar, provaremos que r não é raiz. E que portanto P(x) não tem raízes inteiras.

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Como provar?

Todo polinômio pode ser escrito como

aonde

são os coeficientes.

Daí tiramos que

Pois

Pergunta:

aonde a diferente de b, pertence a Z ou seja, é inteiro? A resposta é que sim. Pois:

para n>2 pode ser escrito como

que pode ser demonstrado realizando a divisão polinomial da Eq. (6) por (b - a). Para o caso de n=1 teríamos P(b)-P(a) = a1 (b-a). Sendo a1 coeficiente inteiro (exigência do enunciado) então P(b)-P(a) será disível por (b-a). E no que ser divisível por (b-a) ajuda? Veja análise na sequência.
Repare então que como obtemos acima

todas as parcelas conterão algum fator multiplicado por (b-a), e se todas as parcelas contém termos proporcionais a (b-a) então ela vai ser divisível por (b-a) sem deixar resto!

Portanto

é inteiro.

Isto é válido para qualquer número b ou a (com a diferente de b) então escolhemos em particular:

b = j+2
a = j

Assim

é inteiro, ou seja

é inteiro.

Do enunciado do problema, P(0) é ímpar. Assim fazendo j = 0 na Equação (10), obtemos que

é inteiro.

Repare que para que seja inteiro, o numerador, P(2) - P(0) deve ser par. Mas P(0) é ímpar (veja enunciado do problema), então P(2) tem que ser ímpar. Porque a diferença entre 2 números ímpares é um número par. A diferença entre um número ímpar e um número par, não é par. Prova:

número ímpar - número par é ímpar
(2n+1) - 2m = 2(n-m) +1 que é ímpar

número ímpar - número ímpar é par
(2n+1) - (2m+1) = 2(n-m) que é par

Voltando.

Vimos que com P(0) ímpar como está supondo no enunciado do problema, P(2) será ímpar.

Fazendo agora j = 2 na Eq. (10), obtemos que

deve ser inteiro. Como vimos que P(2) é ímpar, P(4) também será ímpar.
Igualmente:

é inteiro. Como vimos que P(4) é ímpar, P(6) também será ímpar.

Assim,

P(2), P(4), P(6), P(8), ... P(2n), para n inteiro, serão ímpares. Destaque esta conclusão pois será usada mais tarde.

Do enunciado do problema, P(1) é ímpar.

Com P(1) ímpar, vamos obter que

P(1), P(3), P(5), P(7), ... P(2n+1), para n inteiros, também serão ímpares!


Prova:

Seja P(1) ímpar, usando j = 1 na Eq. (10), obtemos

é inteiro.

Repare que para que seja inteiro, o numerador, P(3) - P(1) deve ser par. Mas P(1) é ímpar (vide enunciado do problema), então P(3) tem que ser ímpar. Porque a diferença entre 2 números ímpares é um número par.

Da mesma maneira:

é inteiro. Como vimos que P(3) é ímpar, P(5) também será ímpar.
Igualmente:

é inteiro. Como vimos que P(5) é ímpar, P(7) também será ímpar.

Assim,

P(1), P(3), P(5), P(7), ... P(2n+1), para n inteiro, serão ímpares.

Então, usando o que obtemos antes com o que obtivemos agora:

P(1), P(2), P(3), ... P(n), para qualquer n inteiro serão ímpares.

Portanto, para todo polinômio, ou seja, para todo n inteiro em

se os coeficientes forem inteiros, as raízes não serão inteiras.

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