Resposta
Dado o polinômio P(x), sabemos que se r é raiz, P(r) = 0.
Para mostrarmos o que o problema em questão pede, tudo que temos que mostrar é que se r é inteiro, P(r) é diferente de 0.
Se pudemos provar que P(r) é ímpar, P(r) então seria diferente de 0. Assim, provando que para r inteiro P(r) é ímpar, provaremos que r não é raiz. E que portanto P(x) não tem raízes inteiras.
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Para mostrarmos o que o problema em questão pede, tudo que temos que mostrar é que se r é inteiro, P(r) é diferente de 0.
Se pudemos provar que P(r) é ímpar, P(r) então seria diferente de 0. Assim, provando que para r inteiro P(r) é ímpar, provaremos que r não é raiz. E que portanto P(x) não tem raízes inteiras.
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Como provar?
Todo polinômio pode ser escrito como
Daí tiramos que
Pergunta:
Repare então que como obtemos acima
Portanto
Isto é válido para qualquer número b ou a (com a diferente de b) então escolhemos em particular:
b = j+2
a = j
Assim
Do enunciado do problema, P(0) é ímpar. Assim fazendo j = 0 na Equação (10), obtemos que
Repare que para que seja inteiro, o numerador, P(2) - P(0) deve ser par. Mas P(0) é ímpar (veja enunciado do problema), então P(2) tem que ser ímpar. Porque a diferença entre 2 números ímpares é um número par. A diferença entre um número ímpar e um número par, não é par. Prova:
número ímpar - número par é ímpar
(2n+1) - 2m = 2(n-m) +1 que é ímpar
número ímpar - número ímpar é par
(2n+1) - (2m+1) = 2(n-m) que é par
Voltando.
Vimos que com P(0) ímpar como está supondo no enunciado do problema, P(2) será ímpar.
Fazendo agora j = 2 na Eq. (10), obtemos que
deve ser inteiro. Como vimos que P(2) é ímpar, P(4) também será ímpar.Igualmente:
Assim,
P(2), P(4), P(6), P(8), ... P(2n), para n inteiro, serão ímpares. Destaque esta conclusão pois será usada mais tarde.
Do enunciado do problema, P(1) é ímpar.
Com P(1) ímpar, vamos obter que
P(1), P(3), P(5), P(7), ... P(2n+1), para n inteiros, também serão ímpares!
Prova:
Seja P(1) ímpar, usando j = 1 na Eq. (10), obtemos
é inteiro.
Repare que para que seja inteiro, o numerador, P(3) - P(1) deve ser par. Mas P(1) é ímpar (vide enunciado do problema), então P(3) tem que ser ímpar. Porque a diferença entre 2 números ímpares é um número par.
Da mesma maneira:
Igualmente:
Assim,
P(1), P(3), P(5), P(7), ... P(2n+1), para n inteiro, serão ímpares.
Então, usando o que obtemos antes com o que obtivemos agora:
P(1), P(2), P(3), ... P(n), para qualquer n inteiro serão ímpares.
Portanto, para todo polinômio, ou seja, para todo n inteiro em
se os coeficientes forem inteiros, as raízes não serão inteiras.Clique aqui se não encontrou o seu problema resolvido ou um assunto que queira ver.
4 comentários:
Sobre a Eq(3) foi dito que
"TODAS as parcelas conterão algum número vezes (b-a), e se todas as parcelas contém termos (b-a) então ela vai ser divisível por (b-a) sem deixar resto!"
Mas existe um engano: em cada parcela conterá algum número vezes (bn - an), no qual "bn" e "an" são índices distintos da equação.
Acho que já entendi o equivoco. No comentário da Eq. 7, "para n>1 pode ser escrito como...", o correto seria notar "para n>2".
Não encontrei nenhuma informação sobre o autor deste Blog? O nome é Leandro?
Anônimo disse...
Sobre a Eq(3) foi dito que "TODAS as parcelas conterão algum número vezes (b-a), e se todas as parcelas contém termos (b-a) então ela vai ser divisível por (b-a) sem deixar resto!"
Mas existe um engano: em cada parcela conterá algum número vezes (bn - an), no qual "bn" e "an" são índices distintos da equação.
Seu comentário está errado e vou provar porque analisando as parcelas à direita da Eq. (3).
1) primeira parcela à direita da igualdade:
a1 (b-a) = (b-a) [a1]
Portanto é divisível por (b-a), ou seja não deixa resto a divisão, e o que está entre colchetes é o resultado da divisão. Até aqui óbvio não?
2)
a2 (b²-a²) = (b-a)[a2 (b+a)]
Portanto a2(b²-a²) é divisível por (b-a), ou seja não deixa resto a divisão, e o que está entre colchetes é o resultado da divisão. Até aqui tudo bem não?
3)
a3 (b³-a³) = (b-a)[a3 (b²+ab+a²)]
Portanto a3 (b³-a³) é divisível por (b-a), ou seja não deixa resto a divisão, e o que está entre colchetes é o resultado da divisão. Esta igualdade é menos fácil de se demonstrar, mas dá!
4) an (b^n - a^n) = (b-a) [...]
aonde
^n significa "elevado a n".
[...] O que está entre colchetes é dado pelo que está entre os colchetes da Eq. (7).
Portanto an (b^n - a^n) é divisível por (b-a), ou seja não deixa resto a divisão, e o que está entre colchetes é o resultado da divisão.
Assim fica provado que TODAS as parcetas contém fatores (b-a) sendo portanto divisível por (b-a) sem deixar resto!
Grato pelo comentário!
Até
Anônimo disse...
Acho que já entendi o equivoco. No comentário da Eq. 7, "para n>1 pode ser escrito como...", o correto seria notar "para n>2".
De fato o correto é para n>2. Já corrigi! Grato!
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