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trigonometria (9p)

Definições:

Usando as definições acima, resolva os exercícios abaixo.

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01. (Unicamp) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15º. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.

Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir de sua base, de

(a) 3,8 tan (15º) km

(b) 3,8 sen (15º) km

(c) 3,8 cos (15º) km

(d) 3,8 sec (15º) km

Gabarito e dicas

Pesquisar no blog: ângulo, triângulos

02. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

a) 1 000 m. 

b) 1 000 √3 m.

c) 2 000 m. 

d) 2 000 m.

e) 2 000  √3 m.

Gabarito e dicas

03. (Fuvest) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m de ladeira, será de, aproximadamente,

(a) 7 m
(b) 26 m
(c) 40 m
(d) 52 m
(e) 67 m

Gabarito e dicas

04. (Unesp) Uma pessoa, no nível do solo, observa o ponto mais alto de uma torre vertical, à sua frente, sob o ângulo de 30º. Aproximando-se 40 metros da torre, ela passa a ver esse ponto sob o ângulo de 45º. A altura aproximada da torre, em metros, é

(a) 44,7
(b) 48,8
(c) 54,6
(d) 60,0
(e) 65,3

Gabarito e dicas

05. (Fuvest) Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre entre o raio e o solo foi de α = π/3 radianos. 

A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de β radianos, com tgβ = 3 √3. 

É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é

a)4 √3
b)5 √3
c)6 √3
d)7 √3
e)8 √3

Gabarito e dicas

06. (Unesp) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo α, conforme a figura:

a) Admitindo-se que sen(α) = 3/5 , calcule a distância x.

b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o

ângulo α passou exatamente para 2α, calcule a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do

farol.

07. (Enem) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:

(a) 30 cm
(b) 45 cm
(c) 50 cm
(d) 80 cm
(e) 90 cm

Gabarito e dicas

08. (Enem) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a

(considere √3 /3 = 0,58)

a) 50%.
b) 43%.
c) 37%.
d) 33%.
e) 19%.

Gabarito e dicas

09. (Fuvest) Sabe-se que x =1 é raiz da equação

sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.

Pode-se então afirmar que as medidas de α e β são, respectivamente,

(a) π/8 e 3π/8
(b) π/6 e π/3
(c) π/4 e π/4
(d) π/3 e π/6
(e) 3π/8 e π/8

Gabarito e dicas

Trigonometria no triângulo retângulo. Seno. Cosseno. Tangente.

"História da Matemática"

atualizado em 07/06/2015

Dois vídeos interessantes sobre a história dos números. Estão dublados em português. Desenvolvido pela BBC com ajuda do Royal Institute of Natural Sciences da Bélgica.

volume (1p)

A diagonal de um paralelepípedo retangular mede 26 cm e duas de suas dimensões são 6 cm e 24 cm.

Calcule seu volume

Solução (Google Docs)

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Geometria espacial. Volume do paralelepípedo. Diagonal do paralelepípedo.

função do primeiro grau (2p)

1. (ELO*) Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10º C foi aquecida até 30ºC.

O gráfico acima representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após oinício da experiência, a temperatura da barra atingiu 0ºC.

a) 1 min
b) 1 min 5seg
c) 1 min 10seg
d) 1 min 15seg
e) 1 min 20seg

* Curso Elo de Ensino

Solução (Google Docs)

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2. (Faap) Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da terra aumenta, aproximadamente, 3°C a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura é de 25°C. Nessas condições, podemos afirmar que:

a. A temperatura a 1.500 m de profundidade é:

a) 70 °C

b) 45 °C

c) 42 °C

d) 60 °C

e) 67 °C

Solução (em imagem JPG)

b. Encontrando-se uma fonte de água mineral a 46°C, a profundidade dela será igual a:

a) 700 m

b) 600 m

c) 800 m

d) 900 m

e) 500 m

Solução (em imagem JPG)

Função do primeiro grau. Função Afim. 

Pesquisar no blog: função, temperatura

numeros complexos (1p)

Se z = i^m+i^-m, m Є Z e i é unidade imaginária, então o número total de possíveis valores diferentes de z é: 

a)3 

b)4 

c)5 

d)6 

e)maior que 6

Solução (Google Docs)

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Problemas resolvidos de Matemática. Números complexos. Forma polar. Fórmula de Moivre.

Vetores: soma, lei dos cossenos, etc. (4p)

01. Um helicóptero parte de um heliporto e faz duas paradas. Primeiro percorre 3,0km na direção leste e em seguida percorre 4,5 km na direção nordeste (45^o ao norte do leste). Calcule o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante.

Solução (em imagem JPG)

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02. (UFS - mod.) Dados dois vetores: A=2i+3j+4k e B=i-2j+3k

a) achar o modulo de cada vetor

b) escrever uma expressão para a soma vetorial, usando vetores unitários

c) Achar o módulo do vetor soma

d) escrever uma expressão para a diferença vetorial , usando vetores unitários

e) achar o módulo do vetor diferença

Solução (em imagem JPG)

Pesquisar no blog: trigonometria, movimento uniforme


03. Perguntas:

1) A soma de dois vetores de módulos diferentes pode ser nula?

2) Quais as condições para que o módulo vetor soma de dois vetores, não-nulos, seja igual a zero?

Solução (Google Docs) A resposta da pergunta 2) é dada primeiro 

04. (Halliday, Resnick, Walker *) Uma máquina transporta um pacote de 4,0kg de uma posição inicial d_i = (0,50m)i + (0,75m)j + (0,20m)k 

em t=0 até uma posição final d_f = (7,50m)i + (12,0m)j+ (7,20m)k em t=12s.  A força constante aplicada pela máquina ao pacote é F = (2.00N)i + (4,00N)j + (6,00N)k. Para esse deslocamento, determine o trabalho realizado pela força da máquina sobre o pacote e a potência média.

Solução (Vídeo no Youtube)

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Soma de vetores.

divisão de polinômios (1p)

Neste vídeo mostramos como resolver uma divisão polinomial quando o polinômio do denominador tem grau maior do que 1.


Solução (Vídeo no Youtube)

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Briot-Ruffini

um polinômio de coeficientes inteiros não possui raízes inteiras se P(0) e P(1) forem ímpares?

Resposta

Dado o polinômio P(x), sabemos que se r é raiz, P(r) = 0.

Para mostrarmos o que o problema em questão pede, tudo que temos que mostrar é que se r é inteiro, P(r) é diferente de 0.

Se pudemos provar que P(r) é ímpar, P(r) então seria diferente de 0. Assim, provando que para r inteiro P(r) é ímpar, provaremos que r não é raiz. E que portanto P(x) não tem raízes inteiras.

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Como provar?

Todo polinômio pode ser escrito como

aonde

são os coeficientes.

Daí tiramos que

Pois

Pergunta:

aonde a diferente de b, pertence a Z ou seja, é inteiro? A resposta é que sim. Pois:

para n>2 pode ser escrito como

que pode ser demonstrado realizando a divisão polinomial da Eq. (6) por (b - a). Para o caso de n=1 teríamos P(b)-P(a) = a1 (b-a). Sendo a1 coeficiente inteiro (exigência do enunciado) então P(b)-P(a) será disível por (b-a). E no que ser divisível por (b-a) ajuda? Veja análise na sequência.
Repare então que como obtemos acima

todas as parcelas conterão algum fator multiplicado por (b-a), e se todas as parcelas contém termos proporcionais a (b-a) então ela vai ser divisível por (b-a) sem deixar resto!

Portanto

é inteiro.

Isto é válido para qualquer número b ou a (com a diferente de b) então escolhemos em particular:

b = j+2
a = j

Assim

é inteiro, ou seja

é inteiro.

Do enunciado do problema, P(0) é ímpar. Assim fazendo j = 0 na Equação (10), obtemos que

é inteiro.

Repare que para que seja inteiro, o numerador, P(2) - P(0) deve ser par. Mas P(0) é ímpar (veja enunciado do problema), então P(2) tem que ser ímpar. Porque a diferença entre 2 números ímpares é um número par. A diferença entre um número ímpar e um número par, não é par. Prova:

número ímpar - número par é ímpar
(2n+1) - 2m = 2(n-m) +1 que é ímpar

número ímpar - número ímpar é par
(2n+1) - (2m+1) = 2(n-m) que é par

Voltando.

Vimos que com P(0) ímpar como está supondo no enunciado do problema, P(2) será ímpar.

Fazendo agora j = 2 na Eq. (10), obtemos que

deve ser inteiro. Como vimos que P(2) é ímpar, P(4) também será ímpar.
Igualmente:

é inteiro. Como vimos que P(4) é ímpar, P(6) também será ímpar.

Assim,

P(2), P(4), P(6), P(8), ... P(2n), para n inteiro, serão ímpares. Destaque esta conclusão pois será usada mais tarde.

Do enunciado do problema, P(1) é ímpar.

Com P(1) ímpar, vamos obter que

P(1), P(3), P(5), P(7), ... P(2n+1), para n inteiros, também serão ímpares!


Prova:

Seja P(1) ímpar, usando j = 1 na Eq. (10), obtemos

é inteiro.

Repare que para que seja inteiro, o numerador, P(3) - P(1) deve ser par. Mas P(1) é ímpar (vide enunciado do problema), então P(3) tem que ser ímpar. Porque a diferença entre 2 números ímpares é um número par.

Da mesma maneira:

é inteiro. Como vimos que P(3) é ímpar, P(5) também será ímpar.
Igualmente:

é inteiro. Como vimos que P(5) é ímpar, P(7) também será ímpar.

Assim,

P(1), P(3), P(5), P(7), ... P(2n+1), para n inteiro, serão ímpares.

Então, usando o que obtemos antes com o que obtivemos agora:

P(1), P(2), P(3), ... P(n), para qualquer n inteiro serão ímpares.

Portanto, para todo polinômio, ou seja, para todo n inteiro em

se os coeficientes forem inteiros, as raízes não serão inteiras.

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Sejam x, y irracionais. x+y e x*y é racional ou irracional?

Resposta

Sejam x, y irracionais. Determine se x+y é racional ou irracional.

Depende!!!

Casos em que x+y são racionais

1)
x = 1-pi
y = pi
x+y = 1 que é racional (e também inteiro)

2)
x = 3 - √2
y = √2
x+y = 3 que é racional (e também inteiro)

3) etc.

*********************
Então, sendo x e y irracionais, sendo
x = a - y
temos que x+y será racional

Aonde a é racional tal que a=p/q aonde p e q são inteiros.
Ex.: a = -1, 3, 3/2, etc

=====================
=====================

Sejam x, y irracionais. Determine se x * y é racional ou irracional.

Também depende!!!

Casos de x * y sendo racionais

1)
x= √2
y= √18
x * y = √36=6 que é racional (e também inteiro)

2)
x= √3
y= √27
x * y = √81 = 9 que é racional (e também inteiro)

3) etc.

*********************
Então, sendo x e y irracionais, se
x = a / y
aonde a é número racional, teremos que x * y será racional

Etc.

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a.b.c = 0 , abc complexos, pelo menos um dos tres fatores é zero?

Resposta

se a, b e c complexos, então podem ser escritos na representação polar como

a = r1 (cos + i senÂ)
b = r2 (cosÊ + i senÊ)
c = r3 (cosÎ + i senÎ)

aonde r1, r2 e r3 são números reais, Â , Ê e Î são os ângulos (e reais).

(como referência, vide por exemplo a equação 23 deste site da USP http://fma.if.usp.br/~fleming/vfield/node5.html )

Assim, vamos calcular o produto abc começando por ab:

ab = r1 (cos + i senÂ) r2 (cosÊ + i senÊ)
ab = r1r2 [cos cosÊ - sen senÊ + i (cos senÊ + sen cosÊ)]
usando a relação de adição de ângulos

sen(x+y) = sen(x)cos(y) + sen(y) cos(x) e ainda
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)

ab = r1 r2 [cos(Â+Ê) + i sen(Â+Ê)]
Chamemos agora de Â+Ê = Ô. Assim,

ab = r1 r2 [cos(Ô) + i sen(Ô)].

(Obs.: Este resultado era esperado já que o produto de 2 números complexos dá um número complexo que pode ser escrito na forma polar).

Vamos calcular agora o produto abc

abc = r1 r2 [cos(Ô) + i sen(Ô)] r3 (cosÎ + i senÎ)
e fazendo as contas como antes:
abc = r1 r2 r3 [cos(Û) + i sen(Û)]

(Aonde Û = Ô+ Î = Â+Ê + Î).

Do enunciado do problema: abc = 0. Assim

r1 r2 r3 [cos(Û) + i sen(Û)] = 0

Mas sabemos que cos(Û) + i sen(Û) nunca será zero. Pois se sen(x)=0 cos(x) será +1 ou -1 ou
se cos(x)=0, sen(x) será +1 ou -1, para todo x. Então, se cos(Û) + i sen(Û) nunca será zero, a única maneira de
r1 r2 r3 [cos(Û) + i sen(Û)]
ser zero é se

r1 r2 r3 = 0.

Como já vimos, r1, r2 e r3 são reais. Para o produto dos três ser nulo, pelo menos um deles é nulo. E se um deles for nulo, o número complexo será nulo. Por exemplo, se r1=0

a = r1 (cos + i senÂ)
a = 0 (cos + i senÂ)
a = 0.

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quando (a/b)^(1/n) é irracional?

Resposta

Pode-se mostrar os casos em que (a/b)^(1/n) é irracional.


Já que (a/b)^(1/n) = a^(1/n) / b^(1/n), podemos mostrar assim:


Seja n,A inteiros positivos com n > 1. Então A^(1/n) é ou inteira ou irracional.

Prova

Suponha que A^(1/n) = x/y seja racional.

Então xⁿ = A yⁿ.

Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, dada a igualdade, ambos os lados da equação devem ter a mesma fatorização prima (em primos).

Na fatorização prima xⁿ e yⁿ, cada primo vai ocorrer n vezes. Daí que cada primo de A deve ocorrer n vezes.

(por exemplo, 9^(1/2) = 3 que é inteiro, ou seja o número 9 é múltiplo de 3 duas vezes. )

Isto é, A é uma n-ésima potência e, portanto, A^(1/n) é um inteiro.

(9 é 3² e a raiz quadrada de 3² é 3)

Nós concluímos que
A^(1/n) é ou racional (no caso em que ela é um inteiro), ou é irracional.

Se a>0 e b>0 vimos então os casos em que , a^(1/n)=J ou b^(1/n)=K serão inteiros ou irracionais. Temos que analisar então combinações entre eles:


Caso 1) J inteiro e K inteiro,

J/K será inteiro ou racional.

Caso 2) J inteiro e K irracional,

J/K será irracional.

Prova (por redução ao absurdo):
J/K = p/q
aonde p e q são inteiros. Temos então:
K = Jq/p, sendo J inteiro (suposto por hipótese), p e q inteiros, K é inteiro ou racional o que é absurdo pois K foi suposto ser irracional.


Caso 3) J irracional e K inteiro,

J/K será irracional.

Prova (por redução ao absurdo):
J/K = p/q
aonde p e q são inteiros. Temos então:
J = Kp/q
Sendo K inteiro (suposto por hipótese), p e q inteiros, J então será inteiro ou racional o que é absurdo pois J foi suposto ser irracional.



Caso 4) J irracional e K irracional,

J/K será irracional exceto quando K ou J forem múltiplos um do outro. Exemplo:
Se K = xJ , aonde x é inteiro, temos

J/K = 1/ x que é racional.

Do contrário,

J/K será irracional.

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